Ma trận nghịch đảo
Ma trận nghịch đảo đóng vai trò tương tự số nghịch đảo trong đại số thông thường. Nếu \(A\) khả nghịch thì ta có thể dùng \(A^{-1}\) để giải nhiều bài toán, đặc biệt là hệ phương trình tuyến tính.
1. Mục tiêu học tập
- Hiểu định nghĩa ma trận nghịch đảo.
- Kiểm tra được điều kiện tồn tại của \(A^{-1}\).
- Tính được nghịch đảo của ma trận cấp 2 bằng công thức.
- Tìm được ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss–Jordan.
2. Định nghĩa
Định nghĩa
Cho ma trận vuông \(A\) cấp \(n\). Nếu tồn tại ma trận \(B\) cùng cấp sao cho
\[ AB=BA=I_n, \]
thì \(A\) được gọi là khả nghịch và \(B\) là ma trận nghịch đảo của \(A\), ký hiệu \(A^{-1}\).
3. Điều kiện tồn tại
Tiêu chuẩn
Ma trận vuông \(A\) khả nghịch khi và chỉ khi
\[ \det A\ne0. \]
Nếu \(\det A=0\) thì \(A^{-1}\) không tồn tại.
4. Công thức cho ma trận cấp 2
Với
\[ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad ad-bc\ne0, \]
ta có
\[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. \]
Ví dụ 1
Cho
\[ A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}. \]
Ta có
\[ \det A=2\cdot2-1\cdot3=1\ne0. \]
Vì vậy
\[ A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}. \]
Kiểm tra:
\[ AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2. \]
5. Phương pháp Gauss–Jordan
Để tìm \(A^{-1}\), ta ghép ma trận \(A\) với ma trận đơn vị:
\[ [A\mid I]. \]
Sau đó thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng cho đến khi vế trái trở thành \(I\):
\[ [A\mid I]\longrightarrow[I\mid A^{-1}]. \]
Ví dụ 2
Tìm nghịch đảo của
\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}. \]
Bắt đầu với
\[ \left[\begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0\\ 3&5&0&1 \end{array}\right]. \]
Thực hiện \(R_2\leftarrow R_2-3R_1\):
\[ \left[\begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0\\ 0&-1&-3&1 \end{array}\right]. \]
Tiếp tục \(R_2\leftarrow-R_2\):
\[ \left[\begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0\\ 0&1&3&-1 \end{array}\right]. \]
Cuối cùng \(R_1\leftarrow R_1-2R_2\):
\[ \left[\begin{array}{cc|cc} 1&0&-5&2\\ 0&1&3&-1 \end{array}\right]. \]
Do đó
\[ A^{-1}=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}. \]
6. Phương pháp phần bù đại số
Với ma trận vuông khả nghịch \(A\), ta có
\[ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A), \]
trong đó \(\operatorname{adj}(A)\) là ma trận phụ hợp, tức chuyển vị của ma trận các phần bù đại số.
Ví dụ 3
Cho ma trận đường chéo
\[ D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&4\end{pmatrix}. \]
Vì các phần tử đường chéo đều khác \(0\),
\[ D^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&0&0\\0&-1&0\\0&0&\frac14\end{pmatrix}. \]
7. Các tính chất cần nhớ
Nếu các ma trận liên quan đều khả nghịch thì
\[ (A^{-1})^{-1}=A,\qquad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\qquad (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T. \]
Sai lầm thường gặp
Không được viết \((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\). Thứ tự phải đảo lại:
\[ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. \]
8. Bài tập tự luyện
- Tìm nghịch đảo của \(A=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}\).
- Cho \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\). Ma trận \(A\) có nghịch đảo không?
- Tìm \(m\) để \(A=\begin{pmatrix}m&1\\1&m\end{pmatrix}\) khả nghịch.
- Tính nghịch đảo của \(D=\operatorname{diag}(2,3,-1)\).
- Biết \(A\) và \(B\) khả nghịch. Viết nghịch đảo của \(AB\).
Đáp số
- \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}\).
- Không, vì \(\det A=0\).
- \(m\ne\pm1\).
- \(D^{-1}=\operatorname{diag}(\tfrac12,\tfrac13,-1)\).
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).