Định thức

Định thức gắn với ma trận vuông và xuất hiện trong nhiều bài toán của đại số tuyến tính: kiểm tra khả nghịch, giải hệ phương trình, xác định hạng và nghiên cứu ánh xạ tuyến tính.

1. Mục tiêu học tập

• Tính được định thức của ma trận cấp 2 và cấp 3.
• Sử dụng được khai triển Laplace theo một hàng hoặc một cột.
• Vận dụng được các tính chất của định thức để tính nhanh.
• Hiểu mối liên hệ giữa \(\det A\) và tính khả nghịch của ma trận vuông.

2. Định thức cấp 2

Ví dụ 1

Cho

\[ A=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}. \]

Khi đó

\[ \det A=2\cdot4-(-1)\cdot3=11. \]

3. Định thức cấp 3

Với

\[ A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}, \]

ta có thể khai triển theo hàng thứ nhất:

\[ \det A =a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} -a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} +a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}. \]

Ví dụ 2

Tính định thức

\[ A=\begin{pmatrix} 1&2&0\\ 3&-1&2\\ 2&1&1 \end{pmatrix}. \]

Khai triển theo hàng thứ nhất:

\[ \det A =1\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}3&2\\2&1\end{vmatrix} =(-3)-2(-1)=-1. \]

4. Khai triển Laplace

Gọi \(M_{ij}\) là định thức con thu được bằng cách bỏ hàng \(i\) và cột \(j\). Phần bù đại số của phần tử \(a_{ij}\) là

\[ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. \]

Ta có thể khai triển định thức theo bất kỳ hàng \(i\):

\[ \det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}, \]

hoặc theo bất kỳ cột \(j\):

\[ \det A=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}. \]

5. Các tính chất quan trọng

• \(\det I_n=1\).
• \(\det(A^T)=\det A\).
• \(\det(AB)=\det A\,\det B\).
• Đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu.
• Nhân một hàng với \(\lambda\) thì định thức bị nhân với \(\lambda\).
• Cộng vào một hàng một bội của hàng khác thì định thức không đổi.
• Nếu ma trận có hai hàng tỉ lệ hoặc có một hàng toàn số \(0\), định thức bằng \(0\).
• Nếu \(A\) là ma trận tam giác thì \(\det A\) bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.

6. Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp

Ví dụ 3

Tính

\[ D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 2&5&8\\ 1&0&1 \end{vmatrix}. \]

Thực hiện \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\), \(R_3\leftarrow R_3-R_1\). Hai phép biến đổi này không làm thay đổi định thức:

\[ D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&1&2\\ 0&-2&-2 \end{vmatrix}. \]

Tiếp tục \(R_3\leftarrow R_3+2R_2\):

\[ D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&1&2\\ 0&0&2 \end{vmatrix}=1\cdot1\cdot2=2. \]

7. Liên hệ với ma trận nghịch đảo

8. Bài tập tự luyện

1. Tính \(\begin{vmatrix}3&2\\5&-1\end{vmatrix}\).
2. Tính \(\det\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\2&1&0\end{pmatrix}\).
3. Tính định thức của ma trận tam giác \(A=\begin{pmatrix}2&1&4\\0&-3&2\\0&0&5\end{pmatrix}\).
4. Không khai triển trực tiếp, cho biết định thức của ma trận có hai hàng bằng nhau bằng bao nhiêu.
5. Tìm \(m\) để \(A=\begin{pmatrix}m&1\\2&m\end{pmatrix}\) khả nghịch.

← Ma trận   |   Đại số tuyến tính   |   Ma trận nghịch đảo →