Ma trận

Ma trận là một trong những đối tượng cơ bản của đại số tuyến tính. Ma trận được dùng để biểu diễn dữ liệu, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính. Trong bài này, chúng ta tập trung vào cách đọc một ma trận, nhận biết các dạng ma trận thường gặp và thực hiện đúng các phép toán cơ bản.

1. Mục tiêu học tập

Nhận biết được kích thước, hàng, cột và các phần tử của một ma trận.
Nhận biết được một số ma trận đặc biệt thường gặp.
Thực hiện được phép cộng, nhân với một số, nhân hai ma trận và chuyển vị.
Biết kiểm tra điều kiện trước khi thực hiện phép nhân hai ma trận.
Tính được lũy thừa và đa thức của một ma trận vuông trong các trường hợp cơ bản.

2. Khái niệm ma trận

Định nghĩa

Một ma trận kích thước \(m\times n\) là một bảng gồm \(m\) hàng và \(n\) cột:

\[ A=(a_{ij})_{m\times n}=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}. \]

Phần tử \(a_{ij}\) nằm ở hàng thứ \(i\), cột thứ \(j\). Số hàng và số cột phải luôn được đọc theo thứ tự hàng × cột.

Ví dụ, với

\[ A=\begin{pmatrix}1&-2&3\\0&4&5\end{pmatrix}, \]

ta có \(A\) là ma trận \(2\times3\), \(a_{12}=-2\) và \(a_{23}=5\).

2.1. Hai ma trận bằng nhau

Hai ma trận \(A=(a_{ij})\) và \(B=(b_{ij})\) bằng nhau khi chúng có cùng kích thước và các phần tử ở cùng vị trí bằng nhau:

\[ A=B\quad\Longleftrightarrow\quad a_{ij}=b_{ij}\ \text{với mọi }i,j. \]

2.2. Một số ma trận đặc biệt

Ma trận hàng: ma trận chỉ có một hàng.
Ma trận cột: ma trận chỉ có một cột.
Ma trận vuông cấp \(n\): ma trận có \(n\) hàng và \(n\) cột.
Ma trận không \(O\): mọi phần tử đều bằng \(0\).
Ma trận đường chéo: là ma trận vuông có mọi phần tử ngoài đường chéo chính bằng \(0\).
Ma trận vô hướng: ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo chính bằng nhau, dạng \(\lambda I_n\).
Ma trận đơn vị: \(I_n=\operatorname{diag}(1,\ldots,1)\).
Ma trận tam giác trên: các phần tử phía dưới đường chéo chính bằng \(0\).
Ma trận tam giác dưới: các phần tử phía trên đường chéo chính bằng \(0\).

Ví dụ,

\[ \begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&3\end{pmatrix} \quad\text{là ma trận đường chéo},\qquad \begin{pmatrix}1&2&-1\\0&3&4\\0&0&5\end{pmatrix} \quad\text{là ma trận tam giác trên}. \]

3. Các phép toán trên ma trận

3.1. Phép cộng hai ma trận

Phép cộng \(A+B\) chỉ thực hiện được khi \(A\) và \(B\) cùng kích thước. Nếu \(A=(a_{ij})\) và \(B=(b_{ij})\) cùng kích thước \(m\times n\), thì

\[ A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}. \]

Nói cách khác, ta cộng hai phần tử nằm ở cùng vị trí.

Ví dụ,

\[ \begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4&-2\\5&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&0\\4&4\end{pmatrix}. \]

3.2. Phép nhân ma trận với một số

Với một số \(\lambda\) và ma trận \(A=(a_{ij})\), ta nhân mọi phần tử của \(A\) với \(\lambda\):

\[ \lambda A=(\lambda a_{ij}). \]

Ví dụ,

\[ 2\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&4\\-2&6\end{pmatrix}. \]

3.3. Phép nhân hai ma trận

Điều kiện thực hiện phép nhân

Cho \(A\) có kích thước \(m\times n\) và \(B\) có kích thước \(p\times q\). Tích \(AB\) chỉ thực hiện được khi

\[ \boxed{n=p}, \]

tức là số cột của \(A\) bằng số hàng của \(B\). Khi đó \(AB\) có kích thước \(m\times q\).

Có thể ghi nhớ bằng sơ đồ

\[ (m\times\boxed n)(\boxed n\times q)\longrightarrow m\times q. \]

Để tìm phần tử ở hàng \(i\), cột \(j\) của \(AB\), ta lấy hàng thứ \(i\) của \(A\) nhân tương ứng với cột thứ \(j\) của \(B\) rồi cộng các tích:

\[ (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}. \]

Ví dụ

Cho

\[ A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&3&4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\\-1&2\end{pmatrix}. \]

Ma trận \(A\) có kích thước \(2\times3\), còn \(B\) có kích thước \(3\times2\). Vì số cột của \(A\) bằng số hàng của \(B\), tích \(AB\) thực hiện được và có kích thước \(2\times2\):

\[ AB=\begin{pmatrix} 1\cdot2+2\cdot1+(-1)(-1) & 1\cdot1+2\cdot0+(-1)2\\ 0\cdot2+3\cdot1+4(-1) & 0\cdot1+3\cdot0+4\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5&-1\\-1&8\end{pmatrix}. \]

Lưu ý

Thứ tự nhân rất quan trọng. Có thể \(AB\) thực hiện được nhưng \(BA\) không thực hiện được. Ngay cả khi cả \(AB\) và \(BA\) đều thực hiện được, nói chung vẫn có \(AB\ne BA\).

3.4. Phép chuyển vị

Ma trận chuyển vị của \(A=(a_{ij})_{m\times n}\), ký hiệu \(A^T\), là ma trận \(n\times m\) thu được bằng cách đổi các hàng của \(A\) thành các cột:

\[ (A^T)_{ij}=a_{ji}. \]

Ví dụ, nếu

\[ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}, \quad\text{thì}\quad A^T=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}. \]

Các tính chất quan trọng:

\[ (A^T)^T=A,\qquad (A+B)^T=A^T+B^T, \]

\[ (\lambda A)^T=\lambda A^T,\qquad \boxed{(AB)^T=B^TA^T}. \]

Ma trận đối xứng và phản đối xứng

Một ma trận vuông \(A\) được gọi là đối xứng nếu \(A^T=A\), và được gọi là phản đối xứng nếu \(A^T=-A\).

Ví dụ,

\[ \begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix} \quad\text{là ma trận đối xứng},\qquad \begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix} \quad\text{là ma trận phản đối xứng}. \]

3.5. Lũy thừa của ma trận

Với ma trận vuông \(A\) cấp \(n\), ta định nghĩa

\[ A^0=I_n,\qquad A^1=A,\qquad A^k=\underbrace{A\cdot A\cdots A}_{k\text{ thừa số}},\quad k\ge2. \]

Với các số nguyên không âm \(m,n\), ta có

\[ A^mA^n=A^{m+n},\qquad (A^m)^n=A^{mn}. \]

Ví dụ, với

\[ A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, \]

ta tính được

\[ A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad A^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}, \]

và có thể chứng minh bằng quy nạp rằng

\[ A^k=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}\quad(k\ge0). \]

Lưu ý

Nói chung \((AB)^k\ne A^kB^k\), vì phép nhân ma trận không giao hoán. Nếu \(AB=BA\) thì công thức \((AB)^k=A^kB^k\) mới đúng.

3.6. Đa thức của ma trận

Cho ma trận vuông \(A\) cấp \(n\) và đa thức

\[ p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_rx^r. \]

Ta định nghĩa

\[ \boxed{p(A)=a_0I_n+a_1A+\cdots+a_rA^r}. \]

Ở đây số hạng hằng \(a_0\) được thay bởi \(a_0I_n\) để tất cả các số hạng trong tổng đều là ma trận cấp \(n\).

Ví dụ

Cho

\[ A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad p(x)=x^2-2x+1. \]

Vì

\[ A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, \]

nên

\[ p(A)=A^2-2A+I_2 =\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O. \]

4. Tính chất cần nhớ

Khi các phép toán đều có nghĩa, ta có:

\[ A+B=B+A,\qquad (A+B)+C=A+(B+C), \]

\[ A(B+C)=AB+AC,\qquad (A+B)C=AC+BC, \]

\[ (AB)C=A(BC),\qquad AI_n=I_nA=A \]

đối với ma trận vuông \(A\) cấp \(n\).

Cách học hiệu quả

Trước mỗi phép toán, hãy kiểm tra kích thước ma trận. Đối với phép nhân, nhớ quy tắc: kích thước bên trong phải bằng nhau, kích thước bên ngoài là kích thước của tích.

5. Sai lầm thường gặp

Cộng hai ma trận không cùng kích thước.
Nhầm điều kiện nhân ma trận: phải là số cột của ma trận đứng trước bằng số hàng của ma trận đứng sau.
Nhân từng phần tử tương ứng khi tính \(AB\). Phép nhân ma trận phải thực hiện theo quy tắc hàng × cột.
Cho rằng \(AB=BA\). Phép nhân ma trận nói chung không giao hoán.
Viết \((AB)^T=A^TB^T\). Thứ tự đúng là \((AB)^T=B^TA^T\).
Dùng \(A^k\) theo định nghĩa trên cho ma trận không vuông.

6. Bài tập tự luyện

Cho \(A=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&5\\0&-2\end{pmatrix}\). Tính \(A+B\), \(A-B\) và \(2A\).
Cho \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&2\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\\3&2\end{pmatrix}\). Kiểm tra điều kiện rồi tính \(AB\). Tích \(BA\) có thực hiện được không? Nếu có, hãy xác định kích thước của nó.
Cho \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&-1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\). Tính \(A^T,B^T\) và xác định ma trận nào đối xứng, ma trận nào phản đối xứng.
Cho \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\). Tính \(A^2,A^3,A^4\) và dự đoán công thức của \(A^k\).
Cho \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\) và \(p(x)=x^2-4x+4\). Tính \(p(A)\).

Đáp số

\(A+B=\begin{pmatrix}3&4\\3&2\end{pmatrix}\), \(A-B=\begin{pmatrix}1&-6\\3&6\end{pmatrix}\), \(2A=\begin{pmatrix}4&-2\\6&8\end{pmatrix}\).
\(AB=\begin{pmatrix}2&-1\\4&0\end{pmatrix}\). \(BA\) cũng thực hiện được và có kích thước \(3\times3\).
\(A^T=A\), nên \(A\) đối xứng; \(B^T=-B\), nên \(B\) phản đối xứng.
\(A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\), \(A^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\), \(A^4=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}\), và \(A^k=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}\).
\(p(A)=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O\).

← Đại số tuyến tính | Bài tiếp theo: Định thức →