Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất

$$y'+p(x)y=q(x)(*)$$

Trường hợp $q(x)=0$, ta có thể đưa phương trình trở về dạng phương trình vi phân tách biến và giải quyết nó.

Trường hợp$q(x)\neq 0$, ta có thể giải phương trình này bằng phương pháp sau

Đối với phương pháp này ta phải nhớ nhân tử tích phân$I(x)=e^{\int{p(x)dx}}$

Ta nhân hai vế của$(*)$ với nhân tử tích phân$I(x)$, ta được

$$y' e^{\int{p(x)dx}}+p(x)e^{\int{p(x)dx}}=q(x)e^{\int{p(x)dx}}$$

Dễ thấy vế trái sẽ là$\left( ye^{\int{p(x)dx}} \right)'$, nghĩa là ta có

$$\left( ye^{\int{p(x)dx}} \right)'=q(x)e^{\int{p(x)dx}}$$

Tới đây ta chỉ cần lấy tích phân hai vế là xong. Tức là

$$y=\displaystyle \frac{1}{I(x)}\int{q(x)I(x)dx}$$

Ta sẽ đi qua phần ví dụ để nắm rõ cách làm này

Ví dụ 1. Giải phương trình$y'=x-2xy$

Giải

Bằng một phép biến đổi đơn giản ta đưa phương trình về thành

$$y'+2xy=x(1)$\)

Rõ ràng đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với $p(x)=2x$ và$q(x)=x$

OK, ta đi tìm thằng đệ thừa số tích phân$e^{\int{p(x)dx}}$ chính là$e^{\int{2xdx}}=e^{x^2}$

Ta nhân hai vế của phương trình$(1)$ cho$e^{x^2}$, ta được

$\displaystyle y'e^{x^2}+2xye^{x^2}=xe^{x^2}\)

$\displaystyle \Rightarrow \left( ye^{x^2} \right)'=xe^{x^2}\)

Tới đây ta lấy tính phân hai vế, khi đó ta được

$\displaystyle y e^{x^2}=\int{xe^{x^2}dx}\)

$\displaystyle \Rightarrow ye^{x^2}=\frac{1}{2}e^{x^2}+C\)

Hay $\displaystyle y=\frac{1}{2}+Ce^{-x^2}$

Giờ thì mọi thứ đã sáng tỏ đúng không nào

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN